06 正运动学Forward Kinematics — 指数积 · 关节旋量 · 零位形

1 正运动学要回答什么

给定一串关节角 $\theta_1,\dots,\theta_n$，求末端（工具系）相对基座（空间系）的位姿 $g_{st}(\theta)$。这是所有后续计算的第一块砖：逆解要拿它反推，雅可比要对它求导，轨迹规划要它算末端位置。

传统教材用 DH 参数：给每个连杆挂一套坐标系，列四行参数表，连乘。本课程走另一条路——指数积（Product of Exponentials）。同一个答案，零件更少：不需要给中间连杆挂坐标系，只需要每个关节的一根轴。

2 为什么指数积更省事

DH 的麻烦在于“挂坐标系”：连杆坐标系挂在哪、$x$ 轴朝哪，全凭约定，错一个下标整条链都歪。指数积把每个关节只看成空间中一根固定的轴——轴的位置与方向在零位形下量一次，之后不再变。关节转动时，是刚体绕着这根轴转，轴本身不动。

于是整条臂的运动就是：绕轴 1 转 $\theta_1$，绕轴 2 转 $\theta_2$，……，绕轴 $n$ 转 $\theta_n$。每一段都是 04 课造好的 $e^{\hat\xi\theta}$，连乘即可。

3 三个零件，一条装配线

零件一：每根轴写成旋量 $\xi_i$（04 课）。零件二：每个关节的位移 $e^{\hat\xi_i\theta_i}$（04.2 的指数）。零件三：零位形下工具系的位姿 $g_{st}(0)$（02 课的 $g$）。

装配规则只有一条：按关节顺序左乘，$g_{st}(\theta)=e^{\hat\xi_1\theta_1}e^{\hat\xi_2\theta_2}\cdots e^{\hat\xi_n\theta_n}g_{st}(0)$。本节就是把这条线走一遍，并在两自由度臂上验证。

4 前置，还是那三样

04 的旋量 $\xi=(v,\omega)$ 与指数 $e^{\hat\xi\theta}$；02 的齐次变换与“点是 1、方向是 0”；再加上一个几何习惯：量轴的位置时，挑轴与坐标轴的交点、或两轴的交点，能省掉一半计算。

1 转动关节：轴 + 轴上一点

转动关节的轴是一根空间直线：方向 $\omega$（单位向量，右手定则）、经过点 $q$。04 课给过旋量的构造：$v=h\omega-\omega\times q$；关节纯转动时螺距 $h=0$，于是

这个 $-\omega\times q$ 就是“转轴不过原点所欠下的那笔平移”：原点不在轴上，绕轴转时原点自己要动。

2 移动关节：只有方向

移动关节没有转轴，关节变量是沿某方向的位移：$\omega=0$，$v$ 取该方向的单位向量。旋量就是 $\xi=(v,\ 0)$，指数退化成 04.2 的纯平移分支 $\begin{bmatrix}I & v\theta\\ 0 & 1\end{bmatrix}$。

3 取点从简：$q$ 怎么挑

$q$ 可以是轴上的任意一点——换一个点，$-\omega\times q$ 只差一个沿轴的平移分量，而沿轴分量在 $h=0$ 时会被 $(I-e^{\hat\omega\theta})$ 吃掉，指数结果不变。所以挑最省事的那个：

• 轴过原点 → $q=0$, $v=0$，指数就是纯旋转；
• 轴与某坐标轴相交 → 取交点，只有一个分量非零；
• 两轴相交 → 取和上一个关节轴的交点，两条旋量都简单。

这一步省下的计算量很实在：考试里一条臂五六根轴，每根都随便挑点，四个分量全是分数，乘起来就是灾难。

1 公式与顺序

把每个关节的指数按顺序连乘，最后右乘零位形：

顺序不能换：两个指数的矩阵一般不交换（03 第 7 小节）。这里的方向是“从基座往末端读”——最左边的 $e^{\hat\xi_1\theta_1}$ 是离基座最近的关节，最右边是离工具最近的关节，然后才是 $g_{st}(0)$。

2 $g_{st}(0)$ 是什么

所有关节角取零时，工具系相对空间系的位姿。它是量出来的常数，不含 $\theta$：把臂摆到零位形，量工具系的原点位置与三根轴方向，填成一个 $4\times4$。

它的作用是把“整条臂”从基座搬到工具：前面那一串指数只描述各关节把刚体转到了哪，最后这一步把它挪到工具该在的地方。

3 为什么是左乘

关节 1 转动时，它带动的是后面所有连杆（连同它们的轴）。左乘 $e^{\hat\xi_1\theta_1}$ 相当于“先在空间系里把整个后续结构绕轴 1 转过去”，这正符合物理：基座关节一动，整条臂跟着动。

反过来，如果把 $e^{\hat\xi_1\theta_1}$ 放到右边，等于说“只有工具自己绕轴 1 转”，与事实不符。这个顺序错误在考试里扣分最狠——形状对、数值全错。

4 三条体检

$\theta=0$：所有指数变成 $I$，公式退回 $g_{st}(0)$。这是最快的验算：写完公式代 $\theta=0$，对不上就是哪里错了。

底行：每个指数底行都是 $(0,0,0,1)$，连乘后仍如此；最后一行永远是 $(0,0,0,1)$。

单关节：只动第 $i$ 个关节、其余置零，结果应等于“把零位形的工具绕轴 $i$ 转 $\theta_i$”。这条能单独验证每一根轴取得对不对。

规则。三题，覆盖本课三处最容易错的地方：旋量的符号、连乘顺序、零位形的地位。做完即时反馈，解析指回对应小节。