08 雅可比与奇异Jacobian & Singularities — 列公式 · 物体雅可比 · 降秩

1 同样的关节速率，末端可能走完全不同的方向

想象你在示教器上让两个关节各转 $1$ rad/s，以为末端会沿某个方向匀速前进；换一个姿态，同样的关节速率却让末端几乎不动，或者猛地窜出去。原因很直接：末端速度不只取决于关节转多快，还取决于当前位形。把这两者的关系写成一个矩阵，就是雅可比：

$J_s$ 是 $6\times n$ 的矩阵，$n$ 是关节数，$6$ 是末端速度的六个分量。它随位形 $\theta$ 变化；同一个机械臂，换个姿态，这个矩阵就换一套数。

2 名字的来历：每一列就是一个关节的贡献

多元微积分里，$y=f(x)$ 的雅可比是偏导矩阵 $\partial y_i/\partial x_j$。这里 $V$ 的六个分量各自对 $n$ 个关节角求偏导，拼起来就是 $J$。所以第 $i$ 列的含义很直接：只有第 $i$ 个关节以单位速率转、其余关节不动时，末端产生的六维速度。换句话说，$J$ 的每一列就是一个关节对末端速度的“贡献方向”，把所有列按关节顺序排好，就得到完整的雅可比。

3 本节要造的三件事

三件里，第一件是根：列公式写对了，后两件都只是换系和读秩。2024 Q3 的 (c)(d) 就是这三件事的组合。

4 前置：两条结论，一句话

04 给了关节旋量 $\xi_i=(v_i,\omega_i)$ 与指数 $e^{\hat\xi_i\theta_i}$；05 给了 $\mathrm{Ad}_g$ 和 $V_s=\mathrm{Ad}_gV_b$。本节没有新的数学工具，只有一件事：把已有的旋量按列排成矩阵，再用 $\mathrm{Ad}$ 把整列从零位形搬到当前位形。记不清这两条，先回看 04.1 和 05.3。

1 每列一个旋量：从零位形搬到当前位形

06 的指数积把整条臂写成 $g_{st}(\theta)=e^{\hat\xi_1\theta_1}\cdots e^{\hat\xi_n\theta_n}g_{st}(0)$，其中每个 $\xi_i$ 都是在零位形下量的关节旋量：方向是关节轴，位置是零位形下轴上的点。问题是，对于 $i\ge2$，当前位形下第 $i$ 根轴已经不在零位形的位置了，它的旋量也跟着变；变多少，只由它前面的 $i-1$ 个关节决定。

原因是关节 $i$ 的轴挂在它前面的连杆上。前面的关节动，会把整条子链（连同第 $i$ 根轴）刚体般地搬走；后面的关节 $i+1,\dots,n$ 动，不会挪动这根轴。所以第 $i$ 列只需要用前 $i-1$ 个关节的指数积去搬：

这里的 $\mathrm{Ad}$ 就是 05.3 的坐标翻译器：它把零位形坐标下的旋量，翻译成当前位形坐标下的同一个旋量。把所有列按顺序排成矩阵，就得到空间雅可比：

第 1 列没有前序关节，所以 $\xi_1'=\xi_1$，永远是零位形的旋量。这条性质是验算的好工具：算完 $J_s$，先看第 1 列是否还是原始旋量，再看第 2 列是否只含 $\theta_1$。

暂停一下。如果只让第 2 个关节转，末端速度方向由哪一列给出？这一列和零位形的 $\xi_2$ 差了什么？先写下答案，再看下一小节。

2 平面 2R：把第 2 列转一次

取一个最简单的例子：两根连杆都在 $xy$ 平面内，关节轴都沿 $z$。零位形下，第 1 根轴过原点，第 2 根轴过 $(l_1,0,0)$，所以

第 2 列要被 $e^{\hat\xi_1\theta_1}$ 搬一次。这是一个绕 $z$ 轴转 $\theta_1$ 的纯旋转；$\omega=(0,0,1)$ 正好沿转轴，所以角速度部分不变，只有线速度部分被转动：

于是

前两行是线速度，最后一行是角速度，中间三行全零。平面机构只有 $x,y$ 平移和绕 $z$ 转动三个自由度，所以 $6\times n$ 的雅可比里只有这三行有内容；这不是巧合，是自由度被限制在平面内的结果。

走一组数：取 $l_1=1.3$、$\theta_1=30^\circ$，第 2 列是 $(1.3\sin30^\circ,-1.3\cos30^\circ,0,0,0,1)=(0.65,-1.126,0,0,0,1)$。代入 $\theta_1=0^\circ$，第 2 列回到 $(0,-1.3,0,0,0,1)$；代入 $\theta_1=90^\circ$，它变成 $(1.3,0,0,0,0,1)$。第 2 列的线速度部分，就是零位形下的 $(0,-l_1,0)$ 被 $\theta_1$ 旋转后的结果。

1 同一组列，换到物体系

$J_b$ 的列是在物体系里表达的关节旋量。05.3 已经给出 $V_s=\mathrm{Ad}_{g_{st}}V_b$：同一个六维速度，从物体系读数换成空间系读数，用的就是 $\mathrm{Ad}_{g_{st}}$。这条关系对每一个关节单独成立，所以对整列也成立；把每一列都换过去，再按列排成矩阵，就得到

注意 $\mathrm{Ad}_{g_{st}}$ 是 $6\times6$，它左乘整个 $6\times n$ 的 $J_b$，不是只乘某一列；矩阵乘法逐列作用，所以“每一列都换系”和“整个矩阵换系”是同一件事。反过来，$J_b=\mathrm{Ad}_{g^{-1}}J_s$，因为 $\mathrm{Ad}_{g^{-1}}=(\mathrm{Ad}_g)^{-1}$。

2 什么时候用哪个

题目问“空间速度/空间雅可比”就用 $J_s$，问“物体速度/物体雅可比”就用 $J_b$。两者只差一次换算，所以考试里先算一个，另一个用 $\mathrm{Ad}$ 换，比重新推一遍快，也不容易错。2024 Q2 的 (b)(c) 就是这种关系：算完 $V_s$，$V_b$ 用 $\mathrm{Ad}_{g^{-1}}$ 一步得到；雅可比同理。

举个最小的数：取 $g$ 为绕 $z$ 轴转 $90^\circ$、平移为零。如果 $J_b$ 的某一列是 $(0,1,0,0,0,1)$，那么 $\mathrm{Ad}_g$ 把线速度部分 $(0,1,0)$ 转成 $(-1,0,0)$，角速度部分 $(0,0,1)$ 不变，所以 $J_s$ 的对应列是 $(-1,0,0,0,0,1)$。整列换系，逐列做，就是矩阵乘法。

暂停一下。如果题目问的是物体速度，应该先算 $J_s$ 还是 $J_b$？为什么两者只差一次 $\mathrm{Ad}$？先回答，再看下一节。

1 奇异 = $J$ 降秩，不等于“不能动”

$V=J\dot\theta$ 把关节速率映射成末端速度。如果 $J$ 的列不满秩，就存在某个方向的速度，无论关节怎么转都产生不了——这个位形叫奇异位形。数学上是 $\det J=0$（方阵）或秩小于该机构的最大可能秩（6R 是 6，平面 2R 是 2）。要注意，奇异不等于“末端完全不能动”：大多数方向仍然能动，只是少了一个方向；而且接近奇异时，某些关节速率会被放大成很大的末端速度，实际控制里要避开。

2 平面 2R：一个 $\sin$ 就够

末端位置 $p=(l_1\cos\theta_1+l_2\cos(\theta_1+\theta_2),\;l_1\sin\theta_1+l_2\sin(\theta_1+\theta_2))$。对两个角求偏导，拼成 $2\times2$ 的线速度雅可比：

行列式只依赖 $\theta_2$，所以奇异条件只有两个：$\theta_2=0$（两连杆伸直）和 $\theta_2=\pi$（折回重合）。这两处两列平行，末端只能沿垂直于臂的方向动，径向动不了。取 $l_1=1.3$、$l_2=1.0$：$\theta_2=30^\circ$ 时 $\det J_v=0.65$；$\theta_2=90^\circ$ 时 $\det J_v=1.3$；$\theta_2\to0$ 时 $\det J_v\to0$。行列式的大小可以当作“离奇异有多远”的粗指标。

暂停一下。$\det J_v$ 只依赖 $\theta_2$，那改变 $\theta_1$ 会不会让机器人接近奇异？先回答，再看下一节。

3 6R 的三类几何情形

考试要的是几何描述，不是代数条件。三类最常见：

1. 两关节共轴：两根轴重合，两个关节产生同一个运动，秩少 1。答的时候要指出是哪两个关节。
2. 三根平行轴共面：三列线性相关；臂展成一条直线时就是这种。答的时候要指出是哪三根轴、怎么共面。
3. 四根轴汇交于一点：腕部的球腕在“手腕奇点”，两个转动退化成同一个。答的时候要指出汇交点。

答法固定三步：先写 $\det J=0$ 或“某两列线性相关”，再翻译成上面三种之一，最后指出是哪几个关节、哪几根轴。

4 可操作性：离奇异有多远

$\mu_2=\sigma_{\min}/\sigma_{\max}$ 是 $J$ 的最小奇异值与最大奇异值之比。$\mu_2=1$ 说明各个方向的速度传递一样好；$\mu_2\to0$ 说明已经接近奇异——此时关节速度稍大，末端速度就可能爆掉，实际控制里要避开。它衡量的是速度传递的好坏，不是末端能不能到达某个点；可达性是另一件事，别混。

读图之前先猜一件事：把 $\theta_2$ 调到 $0^\circ$，看 $J_v$ 的两列是否平行、$\det$ 是否变成 0；再把 $\theta_2$ 调到 $90^\circ$，看 $\det$ 和 $\mu_2$ 怎么变。图里的红列是“只转关节 1”的贡献方向，灰列是“只转关节 2”的贡献方向；两列平行时，末端就少了一个可动方向。

规则。三题分别检查列公式、2R 的奇异条件、奇异方向的几何描述。每题做完立刻给反馈，解析里会指出该回看的小节；错一题就回去把那一段重读一遍，再回来做，不要只看答案。